Hulpdocument bij MW9 klas 2 hoofdstuk 12

De volgende bewijzen keur ik goed op het proefwerk (MW9 klas 2 hoofdstuk 12)
Wat cursief geschreven is, hoef je op het proefwerk er niet bij te schrijven.

Stelling: de drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar altijd in één punt.

ggb middelloodlijnen

Voor het bewijs mag je in klas 2 gebruik maken van de volgende eigenschap:
- ieder punt op de middelloodlijn van lijnstuk AB heeft gelijke afstanden tot de uiteinden A en B
- ook andersom, ieder punt met gelijke afstand tot twee punten A en B ligt op de middelloodlijn van A en B.
In de bovenbouw gaan we dat preciezer bekijken.


Gegeven driehoek ABC

img

Te bewijzen: de drie middelloodlijnen van driehoek ABC snijden elkaar in één punt.

Bewijs.
De middelloodlijn van AB snijdt de middelloodlijn van BC in punt M
Dan geldt: AM = BM (want M op middelloodlijn van AB)
Ook geldt CM = BM want M op middelloodlijn van BC)
Als enerzijds geldt dat BM = CM, en anderzijds dat BM = AM, dan geldt ook dat AM = CM.
Dus ligt M ook op de middelloodlijn van AC.
Dus de drie middelloodlijnen snijden elkaar in één punt.
Hetgeen bewezen moest worden.

 

 

Stelling: de drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in altijd in één punt.

ggb hoogtelijnen

Voor het bewijs mag je in klas 2 gebruik maken van de volgende eigenschap:
- twee driehoeken zijn congruent (gelijkvormig en even groot) als ze gelijk hebben: een zijde en twee aanliggende hoeken (HZH)


Gegeven driehoek ABC

img

Te bewijzen: de drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.

Bewijs.
Teken driehoek DEF met
DE // AB door C
EF // BC door A
FD // AC door B
De hoogtelijnen van driehoek ABC zijn de middelloodlijnen van driehoek DEF.
De middelloodlijnen gaan door één punt, de hoogtelijnen dus ook.
Hetgeen bewezen moet worden.

Toelichting: De driehoeken ABC, DCB, CEA en BAF zijn alle vier congruent (gelijkvormig en even groot HZH)
Dus C is het midden van DE; B het midden van DF en A het midden van EF.

De hoogtelijnen van driehoek ABC staan natuurlijk ook loodrecht op de zijden van driehoek DEF.
Dus zijn de hoogtelijnen van driehoek ABC de middelloodlijnen van driehoek DEF.
In de bovenbouw gaan we dat preciezer bekijken.

 


Stelling: de drie deellijnen van een driehoek snijden elkaar in altijd in één punt.

ggb deellijnen

Voor het bewijs mag je in klas 2 gebruik maken van de volgende eigenschap:
- ieder punt op de deelijn van een hoek heeft gelijke afstand tot beide benen van die hoek.
- andersom geldt ook: ieder punt dat op gelijke afstand ligt van twee benen van een hoek, ligt op de deelijn van die hoek.

Notatie: met d(P,QR) bedoelen we de afstand (distance d) van punt P tot de lijn door QR

Gegeven driehoek ABC

img

Te bewijzen: de drie deellijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.

Bewijs.
De deellijn van hoek A snijdt de deellijn van hoek B in punt D
Dan geldt d(D,AB) = d(D,AC) want D op deelijn van hoek A
Ook geldt d(D,AB) = d(D,BC) want D op deelijn van hoek B
Als enerzijds geldt dat d(D,AB) = d(D,AC) en anderzijds dat d(D,AB) = d(D,BC) , dan geldt ook dat d(D,BC) = d(D,AC)
Dus ligt D ook op de deellijn van hoek C.
Dus gaan de drie deellijnen door één punt.
Hetgeen bewezen moest worden.

 


Stelling: de drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in altijd in één punt.

ggb zwaartelijnen

Voor het bewijs mag je in klas 2 gebruik maken van de volgende eigenschappen:
- de zwaartelijnen snijden elkaar in de verhouding 2: 1
- twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben: een hoek en de verhouding van de omliggende zijden (zhz)
- twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben: drie hoeken (hhh)


Gegeven driehoek ABC met zwaartelijnen AE, BF, CD
Dus D is het midden van AB, E het midden van BC en F het midden van AC

img img

 

Te bewijzen: de drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.

Bewijs.
De zwaartelijn BF snijdt zwaartelijn AE in punt S in de verhouding AS : SE = 2 : 1
De zwaartelijn CD snijdt zwaartelijn AE in punt T in de verhouding AT : TE = 2 : 1
Aangezien zwaartelijn AE tweemaal op dezelfde plek gesneden wordt, geldt dat S en T samenvallen. Noem dat het zwaartepunt Z
Dus snijden de drie zwaartelijnen elkaar in één punt.
Hetgeen bewezen moet worden.

Toelichting:
In de linker figuur is:
- Driehoek CFE is gelijkvormig met driehoek CAB (zhz), dus AB : FE = 2 : 1 en FE // AB
- Driehoek FES is gelijkvormig met driehoek BAS (hhh), dus AS : SE = 2 : 1
In de rechter figuur is:
- Driehoek BED is gelijkvormig met driehoek BCA (zhz), dus AC : DE = 2 : 1 en DE // AC

- Driehoek DET is gelijkvormig met driehoek CAT (hhh), dus AT : TE = 2 : 1
In de bovenbouw gaan we dit preciezer bekijken.